Насколько хорошо ты играешь в дартс?

Дартс — широкораспространенная забава. Суть игры довольно проста — игрок рукой запускает дротик в мишень, закрепленную на стене на высоте 1.73 м и на расстоянии от игрок на 2.37 м. Система набора очков разнится от игре к игре, но, как правило, нужно набирать максимально возможное количество очков.

Мишень для игры в дартс разделена на 20 круговых сегментов, каждому сегменту присвоено определенное количество очков от 1 до 20. В добавок к этому, на мишени имеется два узких кольца — одно на краю мишени («удвоение»); дротик, попадающий в эту область, приносит удвоенное количество очков на сегменте; и кольцо «утроения», которое ближе к центру мишени, приносящее утроенное количество очков с сегмента. Также в центре есть два поля, объединенные под общим названием «Bullseye» (бычий глаз); внешнее кольцо «бычьего глаза» дает 25 очков, а внутреннее — 50 очков.

Изображение выше — типичный пример мишени для игры в дартс, созданной Брайаном Гэмлином в 1896 году. Как можно заметить, сегменты расставлены таким образом, чтобы наказать игрока за промах, ведь рядом с каждым сегментом с большим количеством очков находится сегмент, приносящий их существенно меньше.

И не нужен математик, чтобы посчитать, что наибольшее количество очков можно заполучить, попав в регион утроения 20-ти. Но не все так просто. «Утроение 20-ти» имеет площадь всего лишь 259 мм2. В процентах это меньше 0.9% всей остальной мишени.

Чтобы попасть в утроение 20-ти нужно обладать незаурядным мастерством (все таки попадание в «утроение 20-ти» сопоставимо с попаданием в почтовую марку с расстояния 2.5 м. Даже профессиональные игроки не в состоянии постоянно попадать в это поле, а цена ошибки за такой промах высока — рядом с «20-ю» располагаются сегменты «1» и «5».

Куда целиться?

Так куда же лучше целиться, если достоверно известна неточность броска? Какая стратегия наиболее оптимальна?

Должен ли игрок целиться в утроение 20-ти, набирая тем самым наибольшее возможное количество очков, но повышая возможность поплатиться за неточность низшими возможными очками? Или нужно целиться в «бычий глаз»?

А может быть существует какое-то наиболее оптимальное место для прицеливания, которое хоть и не принесет за раз больше всего очков, имеет большой захват сегментов со средним значением очков; и хоть бросок дротика не столь точный, он сможет набрать столько очков, что в среднем будет игрок будет вести довольно эффективную и стабильную игру?

Ответ на эту загадку, как мы убедимся в этом позже, таков: оптимальная стратегия игрока в дартс будет зависеть от его навыков игры. Очень хороший игрок в дартс должен целиться в «утроение 20-ти»; большую часть времени он будет попадать точно в свою цель, а промахи будут довольно редкими и не внесут большого вклада в средний счет.

Очень плохой игрок должен целиться ближе к «бычьему глазу», так как само по себе попадание по мишени для игрока уже будет огромным успехом. Прицеливание в центр увеличивает шансы попасть хоть куда-нибудь.

Но что происходит между этими двумя крайностями?

Нормальное распределение

Попробуем смоделировать точность попадания цели на мишени с помощью функции распределения Гаусса. Мы опустим все математические выкладки; будет достаточным сказать, что существует функция плотности распределения, имеющая форму «колокола», и эта форма описывает вероятность, с которой дротик попадет в это место.

Одним из параметров функции является стандартное отклонение, представленное греческой буквой «сигма» («σ»).

Стандартное отклонение (σ)

Повторюсь, за стандартным отклонением и всеми этими функциями прячется очень много математики, но легче всего думать о σ как о мере «разброса».

Если вы хорошо играете в дартс, то у вас будет низкое значение стандартного отклонения, и ваши выстрелы будут «скучкованы» возле того места, куда вы целились.

Средний игрок в дартс будет иметь большее стандартное отклонение. Хоть попадания могут быть в среднем возле одного и того же места, они будут распределены по большей площади. Плохой игрок в дартс будет иметь высокое стандартное отклонение и его попадания будут распределены по еще большей площади.

Суперпозиция

Теперь имея теоретическую основу для расчетов, мы можем рассчитать вероятность и построить кривую попадания дротика, основанную на цели и стандартном отклонении; мы можем развернуть эту кривую по мишени и высчитать ожидаемый счет для каждого возможного места на мишени. (Из-за вероятностной природы функции распределения вероятности, мы просто умножим вероятность попадания дротика в определенное место на количество очков, получаемое с этого места, «размазывая» все это по всей мишени).

При σ=17 мм результат получится примерно таким

Цвет был использован для отображения ожидаемого количества очков. Справа находится легенда распределения, которая показывает примерную зависимость количества очков от яркости. Оптимальное место для прицеливания обозначено фиолетовым квадратом. Его координаты и другие свойства обозначены в левом нижнем углу.

Для данного значения стандартного отклонения наивысшее ожидаемое количество очков за одно попадание — 19.757, которого можно достичь прицеливаясь прямо в утроение 19-ти. (Координаты этой точки представлены в полярной системе координат — радиус измерен от центра доски в миллиметрах, а угол измерен от «12-ти часов» в градусах).

Поэкспериментируем с σ

Здесь мы немного поиграем со стандартным распределением.

По определению, σ=0 мм будет означать, что любой дротик будет приземляться точно туда, куда он и должен был попасть. Наибольший ожидаемый счет от σ=0 мм равен 60-ти

При σ=1 мм отклонение очень мало, и почти все броски будут успешными. Максимальное ожидаемое количество очков — 59.995.

Увеличивая σ до 5 мм немного размазывает области вероятного попадания дротика возле каждого сегмента, и хоть максимальный ожидаемый счет равен 42.939, оптимальным местом для прицеливания остается утроение 20-ти.

В то время, как мы увеличили σ до 10 мм, максимальный ожидаемый счет заметно снизился до 29.457. «Гауссовское» пятно возле утроения 20-ти немного скосилось влево (стало ближе к сегменту «5», чем к сегменту «1»). Это можно заметить также по тому, что значение угла изменилось на 359.4о.

При σ=15 мм этот скос продолжает увеличиваться. Максимальный ожидаемый счет — 21.705.

Как мы уже видели в примере с σ=17 мм, наиболее предпочтительное для прицеливания место смещается с утроения 20-ти к утроению 19-ти (переход происходит практически перед σ=161/2 мм). На картинке выше распределение для σ=20 мм. Интересно, что в этот раз оптимальная точка находится немного вне утроения 19-ти.

При σ=25 мм она все еще немного снаружи, и максимальное ожидаемое количество очков — 15.796.

σ=30 мм, и оптимальная точка смещается внутрь кольца утроения 19-ти, и начинает колебаться вверх и вниз.

σ=85 мм, и, как и было предсказано, оптимальная точка смещается ближе к «бычьему глазу».

Переведем в 3D

Здесь представлены трехмерные диаграммы функции распределения.

σ=2 мм

С очень малой σ каждый сегмент выглядит как башня, высота которой соответствует количеству очков. Наивысший пик на утроении 20-ти.

σ=16 мм

При увеличении σ башни рассредотачиваются и переходят друг в друга. При этом значении σ максимальное значение все еще на утроении 20-ти.

σ=30 мм

Теперь холмы уже более рассредоточены и становятся более низкими и широкими. Наивысшее значение теперь скорее ближе к утроению 19-ти.

σ=50 мм

Теперь уже невозможно достоверно определить отдельные возвышенности и формируется плато.

Перемещения оптимальной точки

Ниже расположен график миграции оптимальной точки по доске по мере увеличения σ. Для низких значений σ эта точка находится в утроении 20-ти. Затем она перепрыгивает на утроение 19-ти, закручивается и постепенно перемещается прямо в центр «бычьего глаза» при огромных значениях σ.

Что происходит со счетом?

По мере уменьшения точности и увеличения σ максимальный ожидаемый счет также снижается. Ниже представлен график зависимости максимално ожидаемого счета от σ.

При средних и высоких значениях σ ожидаемое количество очков между 10 и 15, но продвигаясь в сторону уменьшения σ мы можем наткнуться на острый изгиб и ожидаемое количество очков начинает быстро увеличиваться. Этот изгиб начинается при σ=20 мм.

У игроков со значением σ выше, чем изгиб, будут довольно плохие результаты в дартсе; в то же время игроки с меньшим значением σ будут намного лучше. Разница результатов по обе стороны изгиба настолько высока, что будь игрок хоть немного правее изгиба, а другой немного левее, первый с треском провалил бы партию.

Дартс — игра, в которой разница между посредственным и хорошим игроком настолько высока, что будь они оппонентами, игра была бы, что называется, в одни ворота.

Если σ будет увеличиваться и дальше, мы сможем увидеть второй изгиб на графике. Он появляется из-за того, что облако плотности вероятности становится настолько большим, что появляется реальный шанс того, что дротик вообще не попадет по мишени! Такой дротик не принесет игроку очков, тем самым снижая его ожидаемый счет. Устремляя σ к бесконечности мы сможем увидеть, что максимальный ожидаемый счет будет в свою очередь устремляться к нулю.

Ниже изображен график более высоких значений σ по отношению к максимальному ожидаемому счету. Здесь ось абсцисс представлена в виде десятичного логарифма.

Посчитаем вашу σ

Используя кумулятивную версию функции плотности распределения можно рассчитать вероятность попадания в определенную точку, основанную на значении σ. При низких значених σ вершины будут высокими и узкими, поэтому большой процент площади под кривой будет в определенном радиусе попадания. По мере же увеличения σ кривая становится более широкой и пологой.

Для подсчета вашей σ попробуйте попасть 50 раз в «бычий глаз» и подсчитайте количество дротиков, попавших во внешнее кольцо «бычьего глаза». Затем найдите это число в таблице ниже и найдите соответствующее значение σ.

Хорошо ли вы играете в дартс?

Еще помните про график с изгибом на σ=20 мм?

Соотнося это значение стандартного отклонения с таблицей, чтобы получить такую σ вам необходимо попасть во внешнее кольцо «бычьего глаза» 23 раза из 50-ти. Таким образом, если около половины ваших дротиков попала в это внешнее кольцо, то вы на полпути к профессиональному уровню игры в дартс!

P.S. Если вам стала интересна эта тема и вам хочется побольше статистических выкладок по этой теме, советую ознакомиться с этим документом:

http://www.stat.cmu.edu/~ryantibs/papers/darts.pdf

#дартс