Загадка о потерянных ключах

По приезде на работу я кладу ключи от машины в карман. И уж так складываются звезды, что всегда, когда я иду на деловую встречу, существует 20% вероятности того, что ключи могут выпасть из кармана. Во время обеда после очередной из своих встреч я пытаюсь найти ключи, но тщетно – вероятно, они все же выпали. Пытаясь найти закономерность или даже причину таких несчастий, я задаюсь вопросом: “Если сегодня утром у меня были три деловые встречи, каков шанс того, что ключи выпали на первой?”

(Предполагаем, что ключи могут выпасть ТОЛЬКО на встрече)

Решение

Естественная реакция – ответить «20%», но это неправильно. Да, вероятность выпадения ключей из кармана в любом из мест равна 20%, но у нас есть дополнительная информация – мы знаем, что они выпали. И, зная, что ключи уже выпали, мы должны подсчитать вероятность того, что это произошло на первой встрече.

Существует много способов обозреть эту проблему, но легче всего будет представить ее в виде древовидной схемы, показывающей все возможные состояния.

Мы знаем со 100% вероятностью, что ключи были в моем кармане в момент прибытия на первую встречу, и 100% вероятностью того, что их не было на начало обеденного перерыва. Есть всего лишь три места, где они могли пропасть.

Вероятность потери ключей на первой встрече – 1/5 (20%). Это означает, что с вероятностью 4/5 они были в моем кармане на начало второй встречи.

На момент второй встречи – такой же шанс 1/5, но вероятность их потери другая (1/5 * 4/5).

Вероятность их пропажи на третьей встрече есть результат перемножения 1/5 с вероятностью их нахождения в кармане на момент начала третьей встречи (4/5)^2

Все возможные вероятности показаны коричневым: 1/5, 4/25, 16/125.

Приводим к общему знаменателю: 25/125, 20/125, 16/125. Теперь посмотрим на проблему с другой стороны. Если бы мы прокрутили сегодняшний день 125 раз, мы бы могли ожидать потерю ключей в 25+20+16 раз, то есть 61 раз.

Из этих 61 раз 25 пришлись бы на первую встречу, поэтому шанс потерять их на первой встрече равен 25/(25+20+16)=25/61 ~41

Вероятность того, что мои ключи выпали на первой встрече, равна 41%! Это вдвое больше предполагаемого значения. Таким образом, мы опровергли старое клише о том, что начинать искать потерянные вещи нужно с последнего места пребывания и постепенно возвращаться к исходному пункту.

На что эта загадка намекает, так это на то, что начинать поиски следует с того места, где вы на 100% были уверены в том, что у вас была эта вещь.

[Источник: http://datagenetics.com/blog/november32016/index.html]

#мысли #интересное